ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Возможные перемещения системы. Число степеней свободы из "Курс теоретической механики. Т.2 " Положение системы п материальных точек определяется совокупностью Зп декартовых координат х, уи 2[, Х2, t/2, 22,. ... .., Хп, Уп, г этих точек. Положение твердого тела задается тремя координатами хо, уо, Zq одной из его точек, принятой за полюс, и тремя эйлеровыми углами ф и 0 ( 64). Если система состоит из нескольких твердых тел, то для определения положения такой системы в пространстве достаточно задать координаты полюсов и значения эйлеровых углов для каждого из тел. [c.301] Для определения положения точки в пространстве пользуются также криволинейными координатами ( 47) положение твердых тел можно задавать не только эйлеровыми углами, но и другими параметрами, играющими аналогичную роль. Таким образом, для определения положения материальной системы в пространстве применяют самые разнообразные приемы. Любая совокупность параметров, достаточная для определения положения системы в пространстве, называется обобщенными координатами системы. При этом не предрешается вопрос о том, все ли координаты необходимы для указанной цели, нельзя ли определить положение системы при помощи только части этих параметров или вообще меньшего числа параметров. [c.301] Если материальная система не свободна, то ее обобщенные координаты q, 72, qr, так же как и их производные по времени— обобщенные скорости qi, q% qr, — подчиняются ограничительным условиям, которые мы называем связями. Аналитически связи выражаются равенствами, заключающими время, координаты и их производные, иногда сопровождаемые знаками неравенств последние указывают на возможность прекращения действия связей. Остановимся на случае связей, выражаемых равенствами. [c.302] Если время не входит явно в уравнения связей, то такие связи называют стационарными, в противном случае — нестационарными. [c.302] Кинематические связи, уравнения которых не содержат обобщенных скоростей или путем интегрирования могут быть к такому виду приведены, называют голономными или интегрируемыми, в противном случае — неголономными или неинтегрируе-мыми. [c.302] Голономные связи накладывают ограничения только на координаты точек системы, т. е. на ее положение в пространстве. Вместе с тем, будучи продифференцированы по времени, уравнения голономных связей представляют ограничения, накладываемые на скорости точек системы. В противоположность этому неголономные связи ограничивают и координаты, и скорости точек системы, так как уравнения связей не могут быть проинтегрированы и, следовательно, не существует конечных соотношений между координатами, соответствующих неголономным связям. [c.302] Вращение тела определяется изменением одного угла ф — угла чистого Рис. 352. вращения. [c.303] Первые два дифференциальных уравнения неинтегрируемы и дают пример неголономных связей. Последнее из равенств (7) интегрируется и вновь приводит к голономному условию (6). [c.304] Аналогичный пример неголономной системы дает катящийся по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости диск, плоскость которого может произвольно наклоняться к горизонту. Движение такого диска было изучено в кинематике ( 65). Не-голономная связь в этом случае выражается неинтегрируемым векторным уравнением или соответственно его проекциями на оси координат. [c.305] В дальнейшем будут рассматриваться только голономные связи. Учение о неголономных связях и движении систем, подчиненных такого рода связям, рассматриваются в специальных курсах аналитической механики. [c.305] В ЭТОМ случае неравенство говорит о возможности схода точки со сферы во внешнюю по отношению к ней часть пространства. [c.306] Неудерживающие связи могут прекращать свое действие в одном направлении и сохранять в другом, как это имеет место в только что указанном примере поэтому их иногда называют односторонними связями в отличие от двусторонних (удерживающих) связей. [c.306] Рассмотрим бесконечно малые перемещения точек системы, совместимые со связями, наложенными на систему. В число этих перемещений системы входят, в частности, действительные перемеи ения точек системы, осуществляемые за данный бесконечно малый промежуток времени точками несвободной системы в их действительном движении под действием приложенных сил. [c.306] Если связи не стационарны, то бесконечно малые перемещения точек системы можно представить себе разложенными на два слагаемых 1) совместимые со связями бесконечно малые перемещения, которые имели бы место, если бы связи на мгновение перестали изменяться (например, перемещаться в пространстве, деформироваться), и 2) перемещения, обусловленные изменением самих связей. [c.306] Для дальнейшего имеют основное значение лишь первые слагаемые. Мы назовем их возможными перемещениями системы и определим как бесконечно малые перемещения точек системы, совместимые со связями, зафиксированными в данный момент ). [c.306] Выделение класса возможных перемещений из общего понятия совместимых со связями бесконечно малых перемещений системы существенно, конечно, лишь в случае наличия нестационарных связей. В случае стационарных связей возможные перемещения определяются как бесконечно малые перемещения точек системы, совместимые со связями. [c.306] Возможные перемещения представляют собой некоторый геометрический образ, не связанный ни с движением, совершаемым системой, ни с изменением самих связей. Это —совокупность бесконечно малых векторов, зависящая только от структуры на мгновение затвердевших связей. [c.306] ИЛИ ВЫВОДИМЫМ ИЗ НИХ В предположении, что время является не основным аргументом, а лишь параметром, фиксируемым в данном состоянии связей. [c.307] Чтобы вывести аналитические условия, которым подчиняются возможные перемещения, рассмотрим два различных вида бесконечно малых приращений функций f(t х, у, г,. ..) от аргументов t, X,, у, Z,. .. [c.307] Условимся в дальнейшем обозначать бесконечно малые перемещения точек системы символом dfi, а их проекции соответственно dxi, dyt, dzi в обобщенных координатах эти перемещения будем определять совокупностью величин dqi, dq2, dqr. [c.307] Вернуться к основной статье